三角比

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目次

三角比

鋭角の三角比

この節ではまず,直角三角形について考え, 90^\circより小さな角(鋭角)について三角比の基礎を学ぶ.

どのような多角形も,対角線を引くことによっていくつかの三角形に分割できる. 逆にいえば,適当な三角形を組み合せていくことにより,任意の多角形を作ることができる. そのため,三角形は多角形の中でも最も基本的な図形であるといえる. ここではまず,三角形の分析のための基礎となる,直角三角形について考えてみる.

正接 (tan)

三角形の表記に関する注意
\triangle\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}において,以下のように略することが多い.
説明文

∠A,∠B,∠Cの大きさ \longrightarrow それぞれABC

辺BC,CA,ABの長さ \longrightarrow それぞれabc

今後,特に断りのない限りこの記法にしたがうこととする.

直角三角形の表記に関する注意
図のような直角三角形ABCを\angle Aからみるとき
説明文

辺ABのことを斜辺 (hypotenuse)

辺BCのことを対辺 (opposite side)

辺CAのことを底辺 (base)

という.

このうち底辺,対辺は,\angle Aから直角をみることによって相対的に決まる. 図で描かれたときに,下の部分にあるから底辺というのではない.

たとえば,次の図のように斜めになっている直角三角形でも,

点Aからみたときの斜辺,対辺,底辺は,それぞれ辺AB,BC,CAとなる.
説明文

この章の図にある“目”のマークは,本文中で「~からみたときの」とある場合の説明の補助として使われている. 自分も同じ所から見つめているつもりになって,図形を考えてみよう.

川を渡らずに川幅を知る方法

次の図において,川を渡ることなく,C点から対岸のB点までの距離BCを求めるにはどうしたらよいだろうか.

まず,C点から見て,直線CBと直角の方向にA点を適当に定め,C点からA点までの距離を測る.
説明文

たとえば,これは40mであったとする. 次に,A点から見て,直線ABと直線ACのつくる角の大きさを測る. たとえば,これは35^\circであったとする.


\triangle{ABC}\angle{C}が直角の直角三角形であるから,

この縮図\triangle{A'B'C'}を,たとえば,A'C' = 3 cmとして描くと図のようになる.
説明文

そこで,辺B'C'の長さを測ると約\fbox{A}cmになっている(実際に定規じょうぎで測ってみよう).

ここで,\triangle{ABC}\triangle{A'B'C'}は相似であるから

\begin{align}
\frac{CB}{AC}=\frac{C'B'}{A'C'}\fallingdotseq\frac{\fbox{A}}{3}=\fbox{B}
\end{align}

が成り立つ.この値は,いわばACに対するCBの倍率であることに注意しよう.

実際には,AC = 40mであったから

\begin{align}
BC\fallingdotseq\ AC\times\fbox{B}=40~m\times\fbox{B}=\fbox{C}m
\end{align}

と計算できる.

このように,実際に川を渡らずとも距離BCが求められたのは,適当な縮図\triangle{A'B'C'}を使い, ACに対するCBの倍率(比)を計算したためである. この値は縮図の大きさによらない,35^\circという角度に関する固有の値である.


\fbox{A},\fbox{B},\fbox{C}の答え---\fbox{A}=2.1,\fbox{B}=0.70,\fbox{C}=28

正接の定義

一般に,\angle{\text{C}}が直角である直角三角形ABCにおいて,\angle{\text{A}}から見たときの \frac{\text{\inhibitglue(対辺)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(底辺)\inhibitglue}}=\frac{\text{CB}}{\text{AC}}の値は, \triangle{\text{ABC}}の大きさに関係無く,\angle{\text{A}}の大きさだけで決まる.

たとえば,図の\triangle{AB'C'}\triangle{\text{ABC}}の0.75倍の大きさで描かれているので,
説明文

\begin{align}
\frac{C'B'}{AC'}=\frac{0.75\times\ CB}{0.75\times\ AC}=\frac{\text{CB}}{\text{AC}}
\end{align}

となり,直角三角形の大きさとは関係ないことがわかる.

ここで,この\frac{\text{\inhibitglue(対辺)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(底辺)\inhibitglue}}の値をA正接せいせつまたは, Aタンジェント(tangent)といい, \boldsymbol{\tan{A}}と書く.

正接の定義
図の直角三角形ABCにおいて
説明文

\begin{align}
\tan{A}=\frac{a}{b}
\end{align}

とする.

tanAの値\frac{a}{b}は,図のようにtanの頭文字tの筆記体の書き順に合わせ,

b分のa」と記憶するとよい.
説明文

tanAは,\angle{A}からみたときの底辺に対する対辺の倍率を表していて, さきほどの川の例では,(底辺):(対辺)=b:a=1:\tan{35^\circ}\fallingdotseq1:0.7であった.

【問題:正接の定義

次の図において,tanAtanBをそれぞれ求めよ.

説明文

【解答の編集】

正弦 (sin)と余弦 (cos)

正弦と余弦の定義

正接の場合と同じように,\angle{\text{C}}が直角である直角三角形ABCにおいて,\angle{\text{A}}から見たときの 構文解析失敗 (字句解析エラー): \frac{\text{\inhibitglue(対辺)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(斜辺)\inhibitglue}}

=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}の値や, 構文解析失敗 (字句解析エラー): \frac{\text{\inhibitglue(底辺)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(斜辺)\inhibitglue}}

=\frac{\text{AC}}{\text{BA}}の値は, \triangle{\text{ABC}}の大きさに関係無く,\angle{\text{A}}の大きさだけで決まる.

たとえば,図の\triangle{AB'C'}\triangle{\text{ABC}}の0.75倍の大きさで描かれているが
説明文

\begin{align}
&\frac{B'C'}{AB'}=\frac{0.75\times BC}{0.75\times AB}
=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\\
&\frac{AC'}{B'A}=\frac{0.75\times AC}{0.75\times BA}
=\frac{\text{AC}}{\text{BA}}
\end{align}

となり直角三角形の大きさは関係ないのがわかる.

ここで,構文解析失敗 (字句解析エラー): \frac{\text{\inhibitglue(対辺)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(斜辺)\inhibitglue}} の値をA正弦せいげんまたは, Aサイン(sine)といい, \boldsymbol{\sin{A}}と書く.

また,\frac{\text{\inhibitglue(底辺)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(斜辺)\inhibitglue}}の値をA余弦よげんまたは, Aコサイン(cosine)といい, \boldsymbol{\cos{A}}と書く.

正弦・余弦の定義
右図の直角三角形ABCにおいて
説明文

\begin{align}
&\sin{A}=\frac{a}{c}\\
&\cos{A}=\frac{b}{c}
\end{align}

とする.

sinAの値\frac{a}{c}や,cosAの値\frac{b}{c}も,
説明文
説明文

tanのときと同じように, sinの頭文字sや,cosの頭文字cの筆記体の書き順に合わせて, 図のように記憶するとよい.

sinAとは,\angle{\text{A}}からみたときの斜辺に対する対辺の倍率を表し,

cosAとは,\angle{\text{A}}からみたときの斜辺に対する底辺の倍率を表す.

川を渡らずに川幅を知る方法の例で考えれば, 斜辺は3.7cmと測れるから

\begin{align}
\quad\sin35^\circ\fallingdotseq\frac{2.1}{3.7}\fallingdotseq0.57,~~
\cos35^\circ\fallingdotseq\frac{3}{3.7}\fallingdotseq 0.81
\end{align}

【問題:正弦・余弦の定義
次の図において,
説明文

(1)長さxyを求めよ.

(2)sinAcosAを求めよ.

(3)sinBcosBを求めよ.

【解答の編集】

三角比の値

正接と正弦および余弦をまとめて, 三角比(trigonometric ratio)という. いろいろな角度に関する三角比の値を三角比の表にまとめてある.

この表よりたとえば,\cos40^\circの値は約0.766,またsinA = 0.97のときのAの大きさは約76^\circとわかる.

【暗記問題:三角比の値

次の問に答えよ.

(1)3辺の長さが12\sqrt{3}の直角三角形を用い, \sin30^\circ\cos30^\circ\tan30^\circを求めよ.

  また,\sin60^\circ\cos60^\circ\tan60^\circを求めよ.

(2)3辺の長さが11\sqrt{2}の直角三角形を用い, \sin45^\circ\cos45^\circ\tan45^\circを求めよ.

【解答の編集】

上の例題で導いた30^\circ45^\circ60^\circは有名角といい, これらの三角比の値は,瞬時に引き出せるようにしておこう.

【問題:三角比どうしの関係

(1)\angle{\text{C}}=90^\circである直角三角形ABCについて,次の問に答えよ.

  a)\sin{A}=\frac{2}{3}であったとする.斜辺の長さがc = 3であるとき,他の2辺の長さを求めよ.

  b) a)の三角形を利用して,cosAtanAの値を求めよ.

(2)上の(1)のやり方をまねて,次の問に答えよ.ただし,0^\circ<A<90^\circである.

  a)\sin{A}=\frac{3}{5}のとき,cosAtanAの値を求めよ.

  b)\cos{A}=\frac{1}{3}のとき,sinAtanAの値を求めよ.

  c)tanA = 7のとき,cosAsinAの値を求めよ.

【解答の編集】

三角比の相互関係

sinA、cosA、tanAの間にはどのような関係があるか

三角比どうしの関係の例題でみたように,同じ角度に対する三角比の値は,互いにばらばらなものではなく, ある関係によって結ばれている.

以下では,この三角比の間に成り立つ関係を,一般的に導いてみよう.

図の直角三角形において
説明文

\begin{align}
a=c\sin{A}~~,~~~~b=c\cos{A}
\end{align}

であるから,tanA

\begin{align}
\tan{A}=\frac{a}{b}=\frac{c\sin{A}}{c\cos{A}}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}
\end{align}

と表すことができる.つまり

\begin{align}
\tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}
\end{align}   ………①

が成り立つ.また,三平方の定理よりa2 + b2 = c2であるから, これにa = csinAb = ccosAを代入して

\begin{align}
&\left(c\sin{A}\right)^2+\left(c\cos{A}\right)^2=c^2\\
\Leftrightarrow\ &c^2\left(\sin{A}\right)^2+c^2\left(\cos{A}\right)^2=c^2\\
\Leftrightarrow\ &\left(\sin{A}\right)^2+\left(\cos{A}\right)^2=1	
\end{align}

が成り立つ.普通(sinA)2(cosA)2(tanA)2などは,それぞれsin2Acos2Atan2Aと書く.

 ←Aの2乗のsinの値であるsin(A2)と,sinAの2乗である(sinA)2は, 全く別のものであるが,かっこを省略して書くと,どちらもsinA2となり区別できない. そのため,sinA2と書かれたときは常にsin(A2)を表すと決まっている. (sinA)2のかっこを省略するときには,本文にもあるようにsin2Aと書く.

つまり

\begin{align}
\sin^2{A}+\cos^2{A}=1
\end{align}   ………②

が成り立つ.

【暗記問題:tanAと他の三角比との関係

sin2A + cos2A = 1という関係から,次の式を導け.

(1)1+\frac{1}{\tan^2{A}}=\frac{1}{\sin^2{A}}

(2)\tan^2{A}+1=\frac{1}{\cos^2{A}}

【解答の編集】

三角比の相互関係
図の直角三角形において
説明文
説明文

1)sinAcosAtanAの関係

 \begin{align}
 \tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}
 \end{align}

2)sinAcosAの関係

 \begin{align}
 \sin^2{A}+\cos^2{A}=1
 \end{align}

3)tanAsinAの関係

 \begin{align}
 1+\frac{1}{\tan^2{A}}=\frac{1}{\sin^2{A}}
 \end{align}

4)cosAtanAの関係

 \begin{align}
 \tan^2{A}+1=\frac{1}{\cos^2{A}}
 \end{align}

が成り立つ.

3)と4)は記憶しなくても,例題でみたように1)と2)からすぐに導ける. 2)両辺をsin2Acos2Aで割ればよい,ということを記憶しておこう.

三角比どうしの関係の例題を,今度はこの関係を使って解いてみよう.

【問題:三角比の相互関係の利用

三角比の相互関係を使って,次の問いに答えよ.ただし,0^\circ<{A}<90^\circである.

(1)\sin{A}=\frac{3}{5}のとき,cosAtanAの値を求めよ.

(2)\cos{A}=\frac{1}{3}のとき,sinAtanAの値を求めよ.

(3)tanA = 7のとき,cosAsinAの値を求めよ.

【解答の編集】

90°-Aの三角比
図の直角三角形において
説明文

\begin{align}
B=90^\circ-A
\end{align}

であるから,以下のように表すことができる.

\begin{align}
&\sin(90^\circ-A)=\sin{B}=\frac{b}{c}=\cos{A}\\
&\cos(90^\circ-A)=\cos{B}=\frac{a}{c}=\sin{A}\\
&\tan(90^\circ-A)=\tan{B}=\frac{b}{a}=\frac{1}{\tan{A}}
\end{align}

90°-Aの三角比
三角比について
説明文

\begin{align}
&\sin(90^\circ-A)=\cos{A}\\
&\cos(90^\circ-A)=\sin{A}\\
&\tan(90^\circ-A)=\frac{1}{\tan{A}}
\end{align}

が成り立つ.

90^\circ-Aの三角比はAだけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり, この式は暗記するようなものではない.必要なときに素早く導出できるようにしておこう.

これより,45^\circ<A<90^\circの三角比は,0^\circ<A<45^\circの三角比になおすことができる.

次の例題で確かめてみよう.


【問題:90°-Aの三角比の利用

次の三角比を45^\circ以下の角の三角比で表せ.

(1)\sin{80^\circ}

(2)\cos{46^\circ}

(3)\tan{82^\circ}

【解答の編集】

三角比の表においても, \cos 89^\circ=\sin 1^\circ,\cos 88^\circ=\sin 2^\circ,\cdots となっていることを確認してみよう.

三角比の利用

三角比から辺の長さを求める
次の図の三角形において,\tan{A}=\frac{a}{b}であるが,
説明文

この式の両辺にbを掛けて

\begin{align}
b\tan{A}=a
\end{align}

という式を得る.sincosについても同じようにして

\begin{align}
c\sin{A}=a,~~~c\cos{A}=b
\end{align}

となる. これらの式は,三角比から辺の長さを求めるときに用いられる.

三角比から辺の長さを求める
次の図の直角三角形において
説明文

\begin{align}
a=c\sin{A}~,~~~~
b=c\cos{A}~,~~~~
a=b\tan{A}
\end{align}

が成り立つ.

【問題:三角比と辺の長さ
次の図形について,次の問いに答えよ.
説明文

(1)AD = 6のとき,長さが6sinA6cosAsinBに等しい線分を,それぞれ答えよ.

(2)AC = 5のとき,CD,AB,ADの長さを,ABで表せ.

【解答の編集】

【問題:三角比の応用

三角比の表を使って,以下の問に答えよ. ただし,小数第2位を四捨五入して答えなさい.

(1)目の高さが1.5mにある人が,木から5.0m離れた地点に立って木のてっぺんを見上げた.
説明文

すると,水平な地面と視線のなす角

 ←(この角度のことを,仰角ぎょうかくという.)

 が42^\circであった.この木の高さはおよそ何mか. (図参照)

(2)たこげをしていたら, 水平な地面に対し50^\circの角度で長さ50.0mのひもが伸びきった. この凧は地面からおよそ何mの高さにあるか.

 ただし,ひもを持つ手は1.0mの高さにあり,糸が一直線に伸びているとする.

【解答の編集】

三角比の拡張

これまでは, 直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきた. より一般的な三角形を分析するための準備として, ここでは三角比の考えを 直角・鈍角・0^\circへと拡張し,0^\circから180^\circまでの三角比を統一的に扱おう.

座標と三角比の関係

単位円
座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円を単位円(unit circle)という.
説明文

三角比は,この単位円を用いて(90^\circ以上に)拡張される.

三角比の拡張について

三角比の定義を,斜辺が1である直角三角形OPQにおいて考えてみよう

←角度を変数としてみるときには,θシータ\varphiファイなどギリシア文字を使うことが多い.

すると,正弦,余弦,正接はそれぞれ
説明文

\begin{align}
\sin{\theta}=&\frac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\text{PQ}\\
\cos{\theta}=&\frac{\text{OQ}}{\text{PO}}=\text{OQ}\\
\tan{\theta}=&\frac{\text{QP}}{\text{OQ}}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\end{align}

と書ける.つまり,斜辺の長さが1である直角三角形では

「対辺の長さはsinθの値を表し,底辺の長さはcosθの値を表す」

ことがわかる.

この\triangle{\text{OPQ}}を,

図のように単位円の(上半分の)中に描いてみよう.
説明文

そのようにすれば,

Pのx座標がcosθ

Pのy座標がsinθ

となる.

このように,「単位円周上の点の座標」として三角比をとらえなおすと,角度が鋭角でなくても三角比を考えることができる. そこで,0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circの範囲にある角θの三角比を,次のように定義しなおそう.

三角比の拡張

点Oを原点とする座標平面上に単位円の上半分をとり,その周上に一点Pをとる.

x軸の正の部分OXに対し,\angle{POX}\theta~~(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)とするとき
説明文

cosθ = (点Pのx座標)

sinθ = (点Pのy座標)

tanθ = &\bunsuu{\text{\inhibitglue(点Pの$y$座標)\inhibitglue}}{\text{\inhibitglue(点Pの$x$座標)\inhibitglue}}=\text{\inhibitglue(直線OPの傾き)\inhibitglue}

とする.

ただし,点Pのx座標が0のとき,つまり\theta=90^\circのときはtanθを定義しない.

たとえば,θが鈍角のときは次のようになる.

例 i)120^\circの三角比

説明文

図より,

\begin{align}
\cos120^\circ&=-\frac{1}{2}\\
\sin120^\circ&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\tan120^\circ&=-\sqrt{3}
\end{align}


(\triangle{\text{OPQ}}QO:OP:PQ=1:2:\sqrt{3}の 直角三角形であることに注意しよう.)


例 ii)180^\circの三角比

説明文

図より,

\begin{align}
\cos180^\circ&=-1\\
\sin180^\circ&=0\\
\tan180^\circ&=0
\end{align}

三角比の値のまとめ

角度が0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ,120^\circ,135^\circ,150^\circ,180^\circの場合の 三角比は,頭の中で次のような図を思い描き,素早く求められるようになろう.

 ←3秒以内が目安である.

説明文
【問題:有名角の三角比

上の図をもとに下の表を完成させよ.

説明文

【解答の編集】

三角比を含む方程式と不等式
【問題:三角比を含む方程式

以下の式を満たすθを求めよ.ただし0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circとする.

(1)\cos\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}

(2)\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}

(3)\tan\theta=-\sqrt{3}

(4)sinθ = 1

【解答の編集】

有名角の三角比に限れば, 三角比から角度を求めるときと,角度から三角比を求めるときに重要なことは, 次のことに限られる.

つまり,条件に合うよう単位円と動径を描き,うまく垂線を引いて

・3辺の長さが1,~\frac{\sqrt{2}}{2},~\frac{\sqrt{2}}{2}の直角三角形を作ることができる.

・3辺の長さが1,~\frac{\sqrt{3}}{2},~\frac{1}{2}の直角三角形を作ることができる.

・直角三角形を作る必要はない.

のいずれに当てはまるかを判断することである.

【問題:三角比を含む不等式

以下の式を満たすθを求めよ.ただし0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circとする.

(1)\cos\theta\leqq-\frac{\sqrt{3}}{2}

(2)\sin\theta>\frac{\sqrt{2}}{2}

(3)\tan\theta>-\sqrt{3}

【解答の編集】

拡張された三角比の相互関係

拡張された三角比の相互関係について

拡張された三角比においても,三角比の相互関係で学んだ三角比の相互関係

\begin{align}
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},~~~\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,~~~1+\frac{1}{\tan^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta},~~~\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}
\end{align}

が成り立つ.以下でこれらのことを確認してみよう.

図の単位円において
P153.png

\begin{align}
\cos\theta=x~~,~~~~\sin\theta=y
\end{align}

であるから,tanθ

\begin{align}
\tan{\theta}=\frac{y}{x}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{align}

と表すことができる.つまり

\begin{align}
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{align}   ………①

が成り立つ.また,三平方の定理より,x2 + y2 = 1であるから

\begin{align}
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\end{align}   ………②

が成り立ち,②の両辺をsin2θで割って,\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}を用いると

\begin{align}
&1+\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}~~
&\therefore~~1+\frac{1}{\tan^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}
\end{align}   ………③

また,②の両辺をcos2θで割って,\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}を用いると

\begin{align}
&\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\frac{1}{\cos^2\theta}~~
&\therefore~~\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}
\end{align}   ………④

拡張された三角比の相互関係

θ0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのとき,次の式が成り立つ.

1)sinθcosθtanθの関係

\begin{align}
\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\end{align}

2)sinθcosθの関係

\begin{align}
\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1
\end{align}

3)tanθsinθの関係

\begin{align}
1+\frac{1}{\tan^2{\theta}}=\frac{1}{\sin^2{\theta}}
\end{align}

4)cosθtanθの関係

\begin{align}
\tan^2{\theta}+1=\frac{1}{\cos^2{\theta}}
\end{align}

三角比どうしの関係と同じ問を, 拡張された三角比の相互関係を使って解いてみよう. ただし,今回は0^\circから180^\circまでの範囲で考える.

【問題:拡張された三角比の相互関係の利用

拡張された三角比の相互関係を使って次の問に答えよ.ただし0^\circ\leqq\alpha\leqq	180^\circである.

(1)\sin\alpha=\frac{3}{5}のとき,cosαtanαの値を求めよ.

(2)\cos\alpha=\frac{1}{3}のとき,sinαtanαの値を求めよ.

(3)tanα = 7のとき,cosαsinαの値を求めよ.

【解答の編集】

【問題:三角比の計算

次の式を簡単にせよ.

(1)(sinθ + cosθ)2 + (sinθ − cosθ)2

(2)\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} -\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}

【解答の編集】

=90°+θの三角比

図のように,単位円周上に角θの動径OPと 角90^\circ+\theta( = θ'とする)の動径OP'をとる。

点Pの座標を(x,y)とすると, \triangle{OPQ}\triangle{OP'Q'}は合同なので,点P'の座標は( − y,x)となるから

P156-1.png


sinθ' = x = cosθ


cosθ' = y = − sinθ


\tan\theta'=\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}=-\frac{1}{\tan\theta}


と表すことができる.


ここで,\theta'=90^\circ+\thetaであるから,次のようにまとめることができる.


90°+θの三角比

θ0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circの三角比において

説明文

\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta


\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta

\tan(90^\circ+\theta)=-\frac{1}{\tan\theta}

が成り立つ.

90^\circ+\thetaの三角比はθだけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり, この式は暗記するようなものではない. 必要なときに,上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい.


これより,90^\circ<\theta\leqq180^\circの三角比は,0^\circ<\theta\leqq90^\circの三角比になおして, その値を求めることができる.


【問題:90°+θの三角比の利用

次の式を満たすように\fbox{A}の中に90^\circより小さい角を入れよ。

(1)\sin100^\circ=\cos\fbox{A}


(2)\cos179^\circ=-\sin\fbox{A}


(3)\tan125^\circ=-\frac{1}{\tan\fbox{A}}

【解答の編集】

180°-θの三角比

図のように,単位円周上に角θの動径OPと 角180^\circ-\theta( = θ'とする)の動径OP'をとる。

点Pの座標を(x,y)とすると, 点P'の座標は( − y,x)となるから

P157-1.png


sinθ' = y = sinθ


cosθ' = − x = − cosθ


\tan\theta'=\frac{y}{-x}=-\frac{y}{x}=-\tan\theta


と表すことができる.


ここで,\theta'=180^\circ-\thetaであるから,次のようにまとめることができる.


180°-θの三角比

θ0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circの三角比において

説明文


\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta

\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta

\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta

が成り立つ.

180^\circ-\thetaの三角比はθだけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり,この式も暗記するようなものではない.やはり,必要なときに,上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい.


これからも,90^\circ<\theta\leqq180^\circの三角比は,0^\circ<\theta\leqq90^\circの三角比になおして, その値を求めることができる.


【問題:180°-θの三角比の利用

次の式を満たすように\fbox{A}の中に90^\circより小さい角を入れよ。

(1)\sin100^\circ=\sin\fbox{A}


(2)\cos179^\circ=-\cos\fbox{A}


(3)\tan125^\circ=-\tan\fbox{A}

【解答の編集】

有名角以外の三角比

30^\circ45^\circ60^\circといった有名角を含む三角形を利用することで,有名角以外の角の三角比を求められる場合がある.ここでは,15^\circ75^\circ105^\circ165^\circの三角比を考えてみよう。

15°,75°,105°,165°の三角比

15°,75°,90°の三角形を考える
説明文

15^\circに関する三角比を考えるため, まず図のような直角三角形ABC のAC,ABの長さを求めよう.

15^\circに関する三角比を求めることを目的とするなら,CBの長さはいくつでもよい.ここでは,考えやすくするため1とした.


ここで,辺AB上に点Dを\angle{CDB}=30^\circとなるようにとると,\angle{DCB}=60^\circであるから, \angle{DCA}=75^\circ-60^\circ=15^\circである. このとき,\angle{DCA}=\angle{DAC}=15^\circとなるから,\triangle{DCA}は二等辺三角形とわかる.

\triangle{BCD}において,BC = 1から

\begin{align}
\text{DB}=\sqrt{3},~~\text{DC}=2
\end{align}

となり,また\triangle{DCA}は二等辺三角形だったから

\begin{align}
\text{AD}=\text{DC}=2
\end{align}

となる.以上より,\text{AB}=2+\sqrt{3}とわかった.

さらに,直角三角形ABCに三平方の定理を用いて

\begin{align}
\text{AC}=&\sqrt{\text{AB}^2+\text{BC}^2}=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1^2}=\sqrt{7+4\sqrt{3}+1}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
\end{align}

ここで,\sqrt{8+4\sqrt{3}}の2重根号をはずすと(2重根号参照)

\begin{align}
\sqrt{8+4\sqrt{3}}=&\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\ \right)^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}
\end{align}

より,\text{AC}=\sqrt{6}+\sqrt{2}となる.

15°の三角比とその周辺

以上から直角三角形ABCの3辺の長さは,図のようになる.

説明文

これより,15^\circの三角比は以下のように求められる.

\begin{align}
\sin15^\circ=&\frac{\text{CB}}{\text{AC}}\\
=&\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\ \right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\ \right)}\\
=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{align}

\begin{align}
\cos15^\circ=&\frac{\text{AB}}{\text{CA}}\\
=&\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
=&\frac{\left(2+\sqrt{3}\ \right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\ \right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\ \right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\ \right)}\\
=&\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6-2}\\
=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align}

\begin{align}
\tan15^\circ=&\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\\
=&\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\ \right)\left(2-\sqrt{3}\ \right)}\\
=&2-\sqrt{3}
\end{align}

【問題:15°とその周辺の三角比

\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\tan15^\circ=2-\sqrt{3} を利用して,次の三角比を求めよ.

(1)\sin75^\circ,\cos75^\circ,\tan75^\circ

(2)\sin105^\circ,\cos105^\circ,\tan105^\circ

(3)\sin165^\circ,\cos165^\circ,\tan165^\circ

【解答の編集】

15°とその周辺の三角比

次の図のようなA=15^\circの直角三角形ABCにおいて,\angle{DCB}=60^\circとなるように点Dをとることにより, 各辺の比がわかるので,以下のような三角比の値が求められる.

説明文

\begin{cases}
\sin15^\circ&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\
\cos15^\circ&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\
\tan15^\circ&=2-\sqrt{3}
\end{cases}


\begin{cases}
\sin75^\circ&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\
\cos75^\circ&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\
\tan75^\circ&=2+\sqrt{3}
\end{cases}


\begin{cases}
\sin105^\circ&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\
\cos105^\circ&=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\
\tan105^\circ&=-2-\sqrt{3}
\end{cases}


\begin{cases}
\sin165^\circ&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\
\cos165^\circ&=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\
\tan165^\circ&=-2+\sqrt{3}
\end{cases}

例題でみたように,これらはすべて15^\circを基準とした

\begin{align}
15^\circ,~~90^\circ\pm15^\circ,~~180^\circ-15^\circ
\end{align}

の三角比なので,15^\circの三角比から他の角度の三角比は簡単に導ける. 15^\circの三角比の値は覚えなくてもよいが, 15^\circを含む直角三角形から導けるようにしておこう.

これらの角以外にも,18^\circ,36^\circ,72^\circ,144^\circなどの角も,特殊な三角形を考えることによって三角比を 求めることができる. これらについては36°,72°などの三角比を参照 のこと.

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